조안호 수학연구소

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아는 것이 같아도 깊이에 따라 갈린다

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초등수학의 공부순서는 1, 3, 5의 홀수학년에 연산과 함께 기호의 의미를 충실히 공부하고 나서

주로 2, 4, 6의 짝수 학년에 전 학년에 배운 연산을 기초로 확장을 하게 된다.

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어떤 초등 4학년의 학부모가 전화를 하셨다. ‘한 번만이라도 시험을 잘 보게 해서 아이가 자신감을 갖도록 하려고 했다.

시중의 수학의 문제집을 몽땅 사서 시험 때까지 2주 동안 매일 새벽1-2시까지 문제집을 모두 풀렸다.

그리고 학교시험을 봤는데 결과는 60점대로 누구에게 말할 수조차 없을 정도로 참담했다.’고 한다.

모르긴 해도 ‘애가 얼마나 힘들었을까?’란 생각이 들었고 결국 아이나 부모 자신들의 머리 탓으로 끝났을 것 같다.

시험범위가 도형파트가 아니라 연산파트여서 위와 같은 결과를 가져온 것이다.

연산은 그것도 기초부분이 아니라 확장을 해야하는 곳에서 아무리 열심히 하더라도 2주 동안 했다고 실력이 왔다갔다하지는 않는다.

확장은 수연산이 되는 만큼의 확장을 이루게 되니 수연산이 요구하는 수준까지 잘 안된다면

아이의 어려움만 가중시키는 결과를 가져오게 된다. 위와 같은 예 뿐만 아니라 부실한 기본의 아이에게 어려운 문제들을 주어서

수학을 질리게 한다든지 무리한 선행을 하여서 난공불락의 벽을 만드는 경우를 많이 본다.

연산과 기초개념을 길러야할 시기에 다양하고 어려운 문제를 풀리면서 엄마만 뿌듯해 하거나

무리한 선행학습으로 좌절을 겪게 하는 것은 결코 지름길이 아니다.

수학을 공부하는 방법은 단 하나 기본을 지키면서 꾸준히 실력을 길러가는 것이다.

그런데 여러 가지의 방법인 것처럼 보이는 것은 대부분 잘못된 길로 접어들었다가 올바른 공부방법으로 접어들은 경우가 많은 때문이다.

이처럼 시행착오를 겪는 것은 올바른 방법으로 가더라도 그 길이 길고 지루하니 다른 방법을 찾다가 나온 결과이다.

지름길을 찾아 떠나는 대부분의 샛길은 돌이키기 어려운 시간을 낭비하게 된다.

나는 초등학생들 뿐만 아니라 중학생들도 분수를 못하면 분수를 가르친다.

게다가 한번 가르치면 중학생이라 할지지라도 최소한 6개월에서 1년 가까이 시킨다. 그러면 아이도 엄마도 난리가 난다.

‘너무 조금 풀린다’에서부터 ‘언제 끝나냐?’, ‘이제 잘하는데 왜 계속 하냐?’, ‘학교에서는 지금 어디를 공부한다.’며

무수히 많은 압력이 들어온다. 한 번도 굴복해서 진도를 수정한 적이 없다. ‘기준은 오로지 실력이며 실력이 진도를 결정한다.’고 말한다.

단순히 연산을 할 줄 하는 데 그쳐서는 연산에서 얻는 것이 별로 없다.

연산을 혼동없이 하는 것도 중요하지만, 그 안에서 수감각(전문용어로는 수의 운행능력이라고 하지만

앞으로는 수감각이라고 표현한다)이 살 때까지 시키기 때문이다.

수감각은 머리 좋은 아이들의 전유물이 아니며, 연산을 무조건 많이 한다고 해결되는 것이 아니다.

연산의 범위를 최소로하고 수감각이 살 때까지 해야하나 수감각을 평가할 기준이 없어서 부득이 시간으로 평가할 수밖에 없다.

수감각과 개념을 잡아가며 집요함을 기르려는 이 3박자가 맞아야 수학을 올바르게 공부한다고할 수 있는데,

이것의 균형을 잡기가 기존의 공부방법과 달라서 심적으로 쉽지가 않다.

교과서에서 제시하는 수학의 영역은 수와 연산, 도형, 측정, 확률과 통계, 문자와 식, 규칙성과 함수이다.

확장의 방향은 이들 영역을 잘하게 하는 것이 목표이지만 이들로 직접적인 연관을 짓기 전에

갖추어야 할 것으로 수감각을 먼저 해결해야 된다고 생각한다.

연산을 잘하더라도 수감각이 떨어지면 현 교육체계의 방향성인 문제해결력이 떨어진다.

수감각을 키워주기 위한 방법으로 교과서가 제시하는 것은 어림수와 큰 수의 연산, 수의 계열과 규칙이다.

수감각이란 말이 모호하다 보니 하다보면 뭔가 되겠지 라고 생각하는 듯하다.

그러나 큰 수의 연산이나 소수(1보다 작은 양의 수), 측정량의 계산 등은 할 줄만 알면 멈추어야 한다.

계산해야 할 수가 크고 많으면 얼른 처리하거나 피하려 하지 수감각으로 커가지 않게 된다.

이럴 때 할 수 있는 것으로 이 책은 10이나 100 단위 수를 분해하고 만들기,

기준을 통한 수들 간의 관계, 도형으로 가는 길이, 확률로 가기 전의 자리 수 만들기 등을 들고 있다.

생각이 명확하게 하기 위해서 필자는 ‘기준’, ‘소수(약수가 2개인 수)’와 ‘등식의 성질’을 초등학교에서 가르치기를 권하고 있다.

생각이 명확하게 정리되어야 확장이 된다.

자연수에서 덧셈이나 곱셈을 하면 본래의 수보다 더 커지는 반면, 뺄셈이나 나눗셈을 하면 결과는 더 작아진다.

그러다가 좀더 복잡하다할 수 있는 분수를 만나 1보다 작은 수를 연산하게 되면 이런 규칙이 무너지게 된다.

혼란스러운 개념을 구조화하고 조직화하게 되면 다시 새로운 개념에 확실성을 부여하게 된다.

이것이 개인적으로 경험하는 수학의 진보다.

그런데 수학문제를 풀 때, 보통 다음의 잘못된 네 가지 유형이 있다.

아예 첫째, 풀려는 생각도 없는 아이들

둘째, 풀려고는 했지만 손도 못 대는 아이들

셋째, 풀다가 연산에서 틀리는 아이들

넷째, 풀기도 하고 답도 맞았는데 왜 그런지 설명할 수는 없는 아이들이 있다.

연산력까지 기르고 나면 셋째까지는 많은 부분이 해결된다.

그러고 나서 개념없이 문제집만 풀면 다시 네 번째의 유형의 아이들이 된다.

답이 명쾌하게 나오는 것이 아니라 답에 이르는 길이 명확하여야 한다.

많은 공사교육으로 많은 문제집을 풀다보니 네 번째유형의 아이들이 많고 아이들은 자꾸 유형에 익숙해져가고 있다.

그런데 개념을 잡지 않았기에 문제의 상황이 바뀌거나 작은 수에서 큰 수로,

자연수에서 분수로만 바뀌어도 다른 문제인 것처럼 생각한다. 이를 없애려면 다음과 같은 방법을 사용해야 한다.

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첫째, 개념부터 정리해야 한다.

수학문제를 풀 때는 답을 구하는 것이 아니라 항상 개념을 확실하게 하는 계기로 생각해야 한다.

개념으로 접근하면 문제수가 많지도 않다. 당장 교과서에도 3학년부터 6학년까지

매년 빠짐없이 같은 개념이 마치 가면을 바꿔서 쓰고 나타나는 듯이 나오고 있는 것이 많다.

처음에 나올 때, 확실하게 개념을 잡으면 나중에는 같은 문제인지만 알면 된다.

둘째, 생각을 교정해야 한다.

오랫동안 가르치다보니 오답만 보아도 아이들의 생각의 흐름을 읽을 수 있게 된다.

그런데 틀린 문제뿐만 아니라 많은 아이들이 맞은 문제를 설명하려고 하면

 앞뒤 따져보지 보지도 않고 먼저 자신이 푼 것을 지우려든다.

수학은 새로 푸는 것이 아니라 자신이 푼 것에 대한 생각을 정리하고

틀맀다면 무엇이 틀렸는지 이 부분만을 교정해 나가야 발전이 있다.

아이들은 새롭게 다시 풀기를 원하지 틀린 부분을 수정하기를 싫어한다.

새마음으로 푸는 것이 중요한 것이 아니라 생각을 교정해 가는 것 즉 논리가 중요하다.

셋째, 연산과 사고력의 문제를 분리하라.

연산의 방향과 사고력의 방향이 정반대이다.

연산은 자동화과정을 거치게 되는 반면, 사고력은 하나하나 깊이 생각하고 논리적 근거를 생각해야 한다.

따라서 연산과 문장제 문제를 함께 담은 문제집은 자칫 죽도밥도 안될 우려가 있다.

아이들이 하루에 3쪽씩 문제집을 풀라고했을 때,

아이들이 어려운 문제를 별표를 치는 이유는 연산문제를 푸는 속도와 동일하게

문장제 문제를 풀기를 원하기 때문이다.

연산과 사고력을 기르는 문제집을 별도로 풀려야 한다.

넷째, 문제집을 풀 때는 한 문제집을 여러 번 풀어야 한다.

한 신문사에서 ‘쉬운 문제집부터 단계별로 문제집을 푸는 방법’에 대한 글을 써달라는 요청을 받았는데

내 생각과 다르다며 거절한 적이 있다. 많은 사람들이 차례대로 수준을 높여서 여러 권의 문제집을 풀어가야 한다고 생각하고 있다.

그렇게 되면 많은 문제집에 아이가 치이게 된다.

문제집을 풀 때는 학년의 중간정도의 문제집을 한 권 선택하여서 그 책만을 반복해야 한다.

중간정도의 문제집이 버겁다면 이 아이는 제 학년이 아니라 그 이전의 학년에서 부족한 부분을 보충해야하는 시기이다.

깊이와 다양성이 충돌하면 먼저 깊이부터 해결해야 한다고 했다.

그런데 이것을 알아도 같은 문제집을 돈이 아까워 사지 못한다.

그래서 항상 새로운 문제집을 풀지만 마치 새로운 문제처럼 접근하여 효과가 떨어진다.

다섯째, 쉬워져야 한다.

한 강연에서 한 권의 같은 문제집을 여러 번 풀라고 했더니 어떤 학부모님이 ‘그러면 아이가 외우거나 쉬워하잖아요.’라고 말했다.

수학은 잘 외워지지도 않을뿐더러 만약 외워지면 너무도 좋다.

많은 사람들이 수학을 ‘어려운 문제에 대한 도전’으로만 생각하고 끊임없이 아이가 수학문제를 풀면서 힘들어했으면 한다.

어려운 문제를 끊임없이 도전할 수 있는 사람은 어른도 없다.

중요한 것은 아이의 실력이다. 물론 쉬워야한다는 것이 쉬운 문제만을 풀라는 것이 아니다.

처음에 어려우면 문제가 쉬워질 수 있도록 그림도 그려보고

개념을 찾아내서 쉬운 문제로 가공해서 이해할 수 있는 수준으로 끌어내려야 한다.

그러나 반복을 통하여 궁극적으로는 자신의 실력이 높아져서 문제자체의 수준을 발아래로 내려야 한다.

한 권의 문제집을 반복하여 쉬워졌다면 비로소 그 다음으로 새로운 문제집이나 어려운 문제들이 필요하다.

그러나 이때는 새로운 유형만 풀면 되고 그 역시 반복해서 쉬울 때까지 해야 한다는 말이다.

이처럼 수학도 맨 처음은 이해해야하지만, 결국 숙달될 때까지 해야 하기 때문에 다른 과목보다 어렵게 된 것이다.

또 쉬워져야 머릿속에 기억을 남긴다. 이유도 모르고 유형을 외운 것이나 맞을지 틀릴지 모르는 것을

머릿속에서는 기억하려 하지는 않는다. 또 어려운데 수학을 좋아하고 게다가 잘할 수는 없다. 수학을 잘하는 아이는 수학이 쉽다.

아이들에게 질문을 하면 중간정도의 아이가 가장 시끄럽게 저요저요를 외친다. 막상 기회를 주면 갑자기 물어보니 기억이 안난단다.

아마 모르면서 손을 든 것은 아닐 것이며, 알기는 아는데 말할 수 없는 정도의 낮은 지식을 갖춘 탓일 것이다.

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공부해서 아는 것도 중요하겠지만, 더 중요한 것은 얼마나 깊이 아느냐라는 것을 말하고 싶어서 쓴 글입니다.

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