조안호 수학연구소

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보통 아이가 열심히 하면 수학이 된다는 확신이 있나요?

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주변이나 전문가들로부터도 보통 아이가 열심히 해서 수학을 잘했다는 이야기를 못 들어보셨을 것이다. 이게 되는 세상을 만들자는 것이 내 목표다. 타고난 사고력이나 수감각이 있어야 한다고 이야기하는 분은 역으로 보통의 아이를 한 번도 올려본 경험이 없다는 것을 자인하는 말이다. 지금 여러 권의 문제집을 풀고서도 2~3시간 이상의 집중력을 여전히 유지할 수 있는 영재급의 아이들만이 수학이 되고 있다. 그러니 수학의 공부법이란 많은 문제집을 풀어야하는 것처럼 생각되는 것이 사교육 광풍과 불안의 원인이다.

수학을 잘하는 방법은 ‘정확한 개념을 가지고 문제를 논리적으로 해결하는 것’이다. 이것을 위해서 연산과 개념을 도구화하고 어려운 문제에 도전해가면서 집요함을 길러가는 것이 초중등에서 해가야 할 일이다. 그런데 연산은 별거없다고 하거나 큰 수를 연습하여 부작용을 유발하거나, 초중등의 개념은 교과서에 있다고 하거나 쉬워서 아이가 스스로 깊이 생각하면 깨우칠 수 있다고 말하는 사람이 많다. 그것을 액면그대로 믿는다면 연산과 개념이 부족한 상태에서 문제집만을 풀라는 것이다. 이런 사람들은 문제집들을 아이의 수준에 맞춰서 풀도록 안내하고 학부모들은 연산과 개념이라는 수학의 무기도 없이 아이들이 전쟁터에서 싸우도록 만든다.

초등에서 준비해야 할 연산은 작은 수 5~6개의 암산이 척척 되어야 한다. 스스로 5~6개의 암산을 해내는 일부의 똑똑한 아이들이 아니라면, 모든 아이들은 연산을 별도로 훈련을 해야 한다. 그냥 일반 문제집을 풀면서 연산이 저절로 되기를 바라면, 연산의 목표를 달성하기 어렵다. 초등에서 연산훈련을 하지 않는다 해도 보통 3~4개의 암산이 되고 중2까지 별문제가 없는 듯이 보인다. 그러나 이것으로 중3의 인수분해에서 요구하는 6~8개의 암산을 이겨내지 못하고 대부분 수포자가 된다. 물론 3~4개가 아니라 2~3개 이하의 학생들은 처음부터 곧바로 하위권이다. 하위권은 뭘해도 안 되는 것처럼 보이고 게으름이나 의지부족으로 판단하지만 단순히 연산 부족인 경우가 대부분이다. 3~4개의 암산이 되는 학생이 중3의 인수분해를 이겨냈다해도, 고1에서 요구하는 10~11개의 암산을 만나서 고전을 면치 못하게 된다. 고등에서 이런 학생들이 많다. 이때도 연산이 별거 아니라고 하는 선생님들은 연산문제집을 풀리거나 문제집의 권수를 늘리라는 조언을 하지만, 그 정도로 해결되지는 않는다. 연산이 문제집 몇 권 풀려서 해결된다면 초등에서 그렇게 힘들게 몇 년간을 연습할 필요도 없었다.

개념이 부족한 상태(필자가 보기에는 개념이 없는 상태)에서 문제를 풀리면 아이들이 문제를 못 푸는 것이 정상이다. 개념으로 문제를 푸는 것이니 당연한 일이다. 아이들이 못 푸니 선생님들이 기술을 알려주면 풀겠지만, 기술은 휘발성이 강해서 너무 쉽게 잊어버린다. 그래서 같은 기술을 사용하는 문제들을 모아놓은 것이 유형문제집이다. 그런데 유형문제집을 푼다는 것은 여전히 기술이고 풀어본 문제를 외워서 푸는 것이다. 따라서 유형문제집을 푼다고 수학의 실력이 자라는 것이 아니니, 아무리 문제를 많이 푼다 해도 새로운 문제나 어려운 문제는 여전히 풀지 못한다. 이에 대한 방성으로 해답지의 도움없이 끝까지 문제를 풀라고 강요하는 선생님들도 있다. 어려운 문제를 끝까지 고민하여 수학문제를 푼다면, 학생이 희열을 느끼고 심지어는 수학을 좋아하기까지도 하지만 수학실력은 자라지 않는다. 개념이 없는 상태에서 기술로 문제를 풀리거나 끝까지 혼자서 풀어보라는 것은 어차피 안 될 일이었다. 문제를 푸는 목적이 개념을 튼튼히 하는 것인데, 개념을 모르는 상태에서 풀었으니 실력이 자라지 않았다. 수학의 실력이 자란다는 것은 개념이 튼튼해지는 것만을 의미한다.

수학을 공부하는 목적은 새로운 문제나 어려운 문제를 만나서 정확한 개념을 가지고 논리적으로 해결하려는 것이다. 따라서 연산과 개념을 도구화하였다면 자신이 생각하기에 어려운 문제에 도전해가며 집요함을 길러가는 일을 초중고에서 계속해나가야 한다. 보다 쉬운 문제집을 여러 권을 풀리면서 좀 더 상위의 문제집으로 가는 것은 이론적으로는 맞지만 물리적으로 어렵고 잘하는 아이들만이 가능하다. 간혹 심화문제들은 잘 푸는 데 유형문제를 못 푼다든지, 어려운 문제는 잘 푸는 데 쉬운 문제를 틀린다는 학부모님이 있다. 이것도 개념을 못 배우고 문제를 외운 아이들에서 나타나는 현상이다. 필자는 필자의 개념을 올바르게 개념을 배웠다면 힘들더라도 유형문제집이나 쉬운 문제집을 건너뛰고 곧장 심화문제들을 풀라고 한다. 그랬더니 ‘조안호개념커뮤니티에 참여하는 아이들은 머리가 좋은 아이들일 것이다(?)’라는 분들이 있는데, 그렇지 않다. 어떤 테스트를 거치지 않으며 오로지 성실성만을 선발기준으로 한다. 할 생각은 없지만 테스트가 허락된다면 수학이 아니라 국어이고, 테스트를 해서 80점 이상이면 수학100점을 받고 심화문제를 푸는 데 지장이 없다고 생각한다.

필자가 하고자 하는 것은 보통의 학생이 열심히 하면 수학을 잘하는 길을 만들려는 것이다.

내 아이는 보통의 아이가 아니라 머리가 좋다구요? 머리가 좋다면 더더욱 보통의 아이가 되는 길이 완전함에 이르는 길이 된다. 머리가 나쁘다 해도 길이 달라지는 것이 아니라 속도가 느릴 뿐이다. 열심히 수학공부를 해도 안 되는 이유는 사람들이 완전히 반대의 공부방법들만을 골라서 하고 있기 때문이다. 게다가 70여년간 잘못 공부하다보니 잘못된 방법이 고착화되어 설득이 어렵지만, 몇 가지 적어본다. 연산과 개념을 가지고 문제를 논리적으로 푸는 것이 수학을 공부하는 가장 올바른 공부라는 필자의 이론적 배경이기도 하다.

첫째, 언어는 이해했으면 암기하고 체화가 될 때까지 반복해야 한다.

- 암기하지 말고 이해하라는 말을 오해하지 마라. 수학도 언어이고 언어는 이해만이 아니라 체화까지 되어야하는 것이 대부분이다. 암기에 대한 오해를 가지고 있으면서 아이가 공부를 잘하게 시키기는 어렵다.

둘째, 수학은 연역법으로 공부해야 하는 학문이다.

- 수학교과서는 10년간 귀납법으로 가르치려고 하기에 애초부터 개념을 넣을 마음조차 없었다. 그러니 수학교과서에 개념이 있다거나 교과서의 권위를 인정하고 출발하는 사람은 개념을 가르치지 않을 가능성이 대부분이다. 따라서 수학의 올바른 개념을 공부하려면, 제 책이나 프로그램에 참여하는 방법밖에 없다. 잘난 채 하는 듯이 보여 이 말을 하기가 필자도 거북하지만, 어쩔 수 없다. 필자가 개념으로 가르치는 수세기나 직선, 분수 등의 유튜브 동영상을 통해서 그 진위여부를 확인하는 길밖에 없을 것이다.

셋째, ‘한줄개념’을 이해, 암기를 하고 문제를 풀면서 체화, 도구화를 하여야 한다.

- 많은 학부모들이 이해하면 문제가 풀릴거라고 생각하는 데, 아이가 문제를 못푸니 이해가 부족하다고 생각해서 학원이나 과외를 보낸다. 이해는 학교에서 배울 때 이미 했는데, 학원가서 또 배우는 것이다. 학원도 이해시켜고 문제가 안풀려서 다시 기술을 가르친 것이다. 이해한다고 문제가 풀리지는 않는다. 개념으로 문제를 푼다는 것은 개념이 도구가 되어야 한다. 도구가 되어야 하니 ‘한줄개념’이어야한다. 앞으로 고등학교에 가서도 정의, 정리 등 모든 개념은 한 줄이다. 집채만한 도구란 있을 수 없다.

넷째, 수학을 바꾸는 것이 아니라 아이를 변화시켜야 한다.

- ‘아이가 수학문제가 어렵다.’고 하면 선생님들은 다양한 방법으로 문제를 쉽게 만들어서 아이가 풀 수 있는 상태로 만들어준다. 풀 수 있는 상태이니 당연히 아이가 문제를 풀었지만, 아이의 수학실력이 그대로이다. 그러니 비슷한 난이도의 문제를 주더라도 못푼다. 이 상태로 라면 문제를 아무리 많이 풀어도 아이는 계속 어려울 뿐이다. 이것이 학원에 가서 무수히 많은 문제를 풀어도 아이가 실력이 자라지 않았던 이유이다. 고등수학은 중학교에 비해 3~7배의 난이도를 갖는다. 중학교의 내신시험정도의 난이도 문제는 고등학교에서 한 문제도 출제되지 않는다고 보는 것이 맞다. 개념으로 실력을 키우지 않고 중학수학문제를 모두 풀어버리면 시험을 잘 받을 수는 있지만, 고등에 가서 중학우등생의 70%가 추락하는 것이 팩트이다. 중학교에서 개념없이 유형문제집이나 심화문제집을 돌린다면 수학의 기술을 외우는 쓸데없는 작업에 열을 올린 것이고 그 결과는 고등1학년 수학에서 나타날 것이다. 초등 6년과 중등 3년 총 9년을 올바른 개념으로 공부했는지의 여부는 오로지 교육과정평가원 9월 고1 모의고사에서 2등급 이내가 되는 지에 달려있다.

지금까지 수학의 기본을 생각하지 않고 편법으로 아이들이 어려워하는 수학을 도와주어 그때그때 단편적인 해결책을 모색해온 결과는 무수히 많은 수포자의 양산이었다.

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세상의 모든 위대한 결과는 항상 기본을 잘 지켜서 이뤄냈지, 지름길이나 편법인 경우는 없다. 그러니 일이 혼탁하고 안 될 때에는 더더욱 기본으로 돌아가야 한다. 필자가 최초로 연산과 개념을 도구화하고 이것을 가지고 논리적으로 문제를 해결하는 대안을 수학공부의 기본으로 제시한다. 기본은 쉬운 것이 아니라 중요한 것이다.

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감사합니다.